Some problems in Milnor's textbook and its solutions (1)

Today, I upload some problems and its solution which is written in J.Milnor's Textbook (Dynamics in One Complex Variable), Problem 6-(a)-4 and 6-(b).

The title of Problem 6-(a) is The derivative of a torus map, Problem 6-(b) is Periodic points of torus maps. 

+ The content in page 1 is just "why the degree of f  is equal to the square of absolute value of a." , If you need not the proof of above conclusion, i recommend to you skip page 1.

( f is holomorphic map, Torus into itself, f=az+c (mod A) )

Problem 6-(a)-4

Show that the closure of every orbit under f is either a finite set, a finite union of parallel circles or the entire torus T.

The idea to prove this problem is, separating case according to c is rational + rational or irrational + rational (rational + irrational) , irrational + irrational.

we can write honestly the orbit of an arbitrary element z of this torus T, we can find the regularity, how to move the point z by n-fold iteration of f.

Problem 6-(b)

The first part is very simple. To prove the second part, we need to prove some properties of holomorphic map in Torus, but i using this fact non-proof. (This content is written in problem 6-(a)-3.)

The idea of the second part is, separating the entire torus T into small torus. if we can the entire torus 'uniformly separate to small torus', we can obtain the conclusion. (choosing the enough large n..)

I'm sorry if there is anything wrong in my proof...

Thank you to read my post.

院試カテゴリーの最後の投稿

この投稿が院試に関するのには最後になると思います。

長くいう事もなく、結論だけ述べますと、

院試結果は、九州大学 数理学府は合格、京都大学 数学教室は不合格です。

九州大学の合格は８月２７日で、京都大学 院試の投稿の後だったんですね。

院試の結果が全部出るまでは何もせず休もうとすごく思ったんですが、

趣味も何もなく、旅行にもいけない時期だったので、うちでただただ勉強しました。

京都の結果で、かなりショックでした。

まあ、面接でやらかしたか、筆記自体の点数がギリギリだった。その２つしかなかったと思います。

筆記通った人が60何人の中で、面接で落ちたのは10人程度。

その中に私がいることがすごく悲しかったんですが、テストは公平であるもので、単に僕の実力不足だったと思っています。

本当に一昨日ぐらいまでですかね。何日間、僕は数学に才能ないんだ。もう全部やめて就職すればいい とすごく思っていたのです。

かなり病んでいたと思います。こんなに病んでたの初めてかもしれません 笑

１年生の時に学部変えて就職しようと思ってた私がオーバーラップしました。

周りで応援してくれた母国の家族や、院試の際に泊めてくれてた京大に通っている知り合いの方や、友達などなど。

申し訳ないんですね。 結果に応じられなかったという事が自分をものすごく辛くしました。

親には（多分）誇らしい息子だったんですが、期待に裏切ってしまった。という気持ちで何日間、家族に連絡もしてなかったんですが、（多分察してくれたとおもいます）肯定的に考えて、明るい感じで連絡でもしてみようと思います。

自分ができるだけやってたのにできなかったんですから、後悔はありません。今私がいる所で熱心に数学するしかないと思いました。

また応援してくれた方々に感謝の気持ちでもいいましょうかね。

今後は私の専門でやっていることをノート形式で時間があれば投稿するかもしれません。

京都大学 数学教室 院試を終えて

京都大学 数学教室の院試を顧みる投稿です。

やっと、長く長かった院試の勉強がやっと終わりました。（１ヶ月判程度）

勉強に関しては前のポストで触れたので、院試の直前、現場、直後のことについて書こうと思います。

 院試前

筆記試験がコロナウィルスのせいで英語科目がなくなり、8月21日のみになったのでテスト１日のために京都か・・と思いつつ京都にいきました。

行きながら辞任する場合、受験料返却のメールまで届いたので、博多駅までの電車でやめようかなとめちゃくちゃ思いました。でもせっかくの機会なので行くことにして、自分の実力も測りたかったのです。

宿は知り合いのうちでお世話になることにして（医療系の人です）、ご飯などはできる限り簡略にしました。院試直前に体調崩したら大変ですので。知り合いが研究室で寝ると言いましたので、前日はベッドで寝ました。（最初は床でねるつもりだったんですが。）横になったのは12時程度だったんですかね。

 院試当日

７時程度に起きて、近くのコンビニで弁当を買いました。ファミマで三色なになにチキン南蛮を買って試験場に到着しました。

受験番号までは晒さないつもりなんですが、とにかく僕の後ろの席に人がいなく、意外と辞退した方も多いんだと思いました。

まず、基礎問題のリビューから始めたいと思います。

１。重積分の収束条件を求める問題です。

２。線形代数の問題だったんです。線形独立になる条件および、線形従属になる場合の次元を求めることですね。

３。代数で、ある条件を満たす部分群の個数を数える問題だったです。

４。基本的な解析の問題で、最小値の存在性を示す問題でした。

５。簡単な積分値を求める問題です。留数定理ですぐ出せます。

６。ある集合がコンパクトで微分可能多様体であることを示す問題だったです。

感覚としては、少なくても半分は完答したと思います。残りで部分点を稼ぐという感じですかね。（当時は４問は完答したと思いましたが、これに関しては後書きにします。）

専門科目は、２問を解きまして、

１。Borel測度上で、ある積分の値を求める問題だったです。

２。(0,1)で２乗可積分の関数空間で、ある条件を満たす関数列が０に弱収束する。また、すべてのfに関してある条件を満たすことを示す

の２問を解きました。感覚としては1.5問は解きましたが、２の後半の証明ができなかったです。

自分の専門は複素系なのですが、一応このぐらい解けたら自分自身には恥ずかしくなかったと思いました。

かなり気軽い気持ちになり、試験終わって３０分程度休み、近くのスタバ（歩いて１キロ程度）に行って、自分の解答をチェックしたり、解けなかったことを解き直したりしました。

アドレナリンのせいか分からないですが、あまり腹が減ってなく、夜ご飯を飛ばしてそのまま寝ようと思いましたが、知り合いが近くにできたピザ屋が気になると言ったのが思い出して、ピザを一緒に食べて寝ました。

その後、かなり平穏な気持ちで眠りに付きました。

 院試直後

起きてすぐIPADを開き、解けなかった問題をまた解き始めました。

でも流石に意欲が沸かなくて、そのまままた横になってYOUTUBEを見ました。

12時程度に知り合いのバイトが終わって、近くの奥田という豚カツ屋に行きました。

オーダーから出るまでかなり時間がかかりましたが、かなり美味しかったのでそれで良かったと思いました。

昼食後、近くのカフェに行って、１次合格者発表を待っていました。

時間になって、数学教室のページに入り確認しようと思いましたが、おっと。

受験生専用ページに入ってくださいという。携帯にはそのページのアドレスがなかったので、結局理学研究棟ですかね？その場で確認しようと思いました。

結果の発表用紙を確認。ありました。 自分の受験番号。ちゃんとありました。

面接は月曜日の午前中だったので、準備する時間あんまないやーと思いつつ、

今日さえ頑張れば全部終わると思いました。

急ぐこともなかったんですが、新大阪まで早めにいき、待合室でも問題を解きました。

帰り道で基礎問でできなかった問題をちゃんと解けるようになりました。すごく嬉しかったです。

博多についたのは８時程度。うちに到着したのは９時近くでした。

すごい疲労感に襲われまして、湯船に浸かりました。今までの疲労が溶かされる気持ちでしたね。

お風呂から出てからは自分なりの勉強（複素系の定理などの証明）をしました。

そのあと１時程度に睡魔に襲われましたので、すぐ横になって寝ました。

面接にて

面接は指定された時間帯から20分程度すぎている所で、電話がかけられました。

すぐに面接のZOOMに入って、面接スタート。

最初は合否には関係ない事務的なことを問われました。

将来どうしますか？ 両方受かったらどうしますか？などなど。

その後からは定番の、

「筆答試験、どうでしたか？」と問われました。

間違えたことは恥ずかしくなかったので、

「〜〜番の解答が良くなかったので、それに関して考えて、自分なりの解答を作りました。」と言いました。

「じゃあせっかくなので説明させていただけますか」

そのようにして、答案の説明が終わりました。

その後に、自分が合っていると思った問題で計算ミスをしたことを教えて下さったんです。

「〜番は解き直してみましたか？」でしたね。

私は納得して、

「この部分からの答案が良くなかったんですね。」と言いつつ、少し式をいじり、間違えがあった所を発見しました。辛かったんです。

それで1番目の先生との会話が終わって、他の先生に質問ありますか？ということがあったんですが、２番目の先生は特になかったぽいです。（出来が悪かったんだから聞かなかったことかな？時間的な制約だったんかな？と思いましたね。）

「それでは面接は以上です。」といわれ、ZOOMから退室。

 後書き

まあ、午前中に面接まで全部終わりましたが、今書きながら本当に色んな気持ちが交差してますね。

出来が悪かったから何も聞かなかったのかなどなど。かなりモヤモヤしています。

多分気長に待てないと思われますが、まあ。気長に待つしかないんですね。

次のポストが院試カテゴリの最後。院試結果に関してですかね。

院試が終わったので、やっとセミナーの勉強ができるようになったことに満足して1ヶ月半頑張ったご褒美でも自分にあげようと思っています。

九州大学数理学府院試を終えて

九大 数理学府 院試を顧みて

こんにちは。

じゅわなと申します。

九大の院試を終えて、自分なりの感想などを書き込もうと思います。

（まだ１箇所残っていますが、気分転換として）

正しいとは言えませんが、自分なりで考えた解答をアップする予定です。